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特性方程式を使う漸化式の簡単な解き方

高校数学Bの難関として、数列の漸化式があります。
特に、"特性方程式"を使う解法に対して、苦手を感じている人も多いのではないでしょうか。
この記事では、それを簡単に解ける公式について紹介したいと思います!


まずは公式を紹介する前に


漸化式が\[
a_{n+1}=pa_n+q
\]で表される数列の一般項は、$a_{n+1}$と$a_n$をどちらも文字($\alpha$と置くことが多い)で表すことで、特性方程式\[
\alpha=p\alpha+q
\]を作り、それによって求まる$\alpha$\[
\alpha=\frac{q}{1-p}
\]を使って求めます。

しかし、通常この解法は、$\alpha$を求めた後に漸化式を作り替え、それが等比数列の形になっていると気づくことで一般項を得る、という工程を経る必要があります。


漸化式が簡単に解ける公式


今回紹介する公式はこちらです。

漸化式が\[
a_{n+1}=pa_n+q
\]で与えられる数列の一般項$a_n$は、\[
a_n=(a_1-\alpha)p^{n-1}+\alpha
\]で求められる。ただし、$\alpha$は\[
\alpha=\frac{q}{1-p}
\]である。


要は、特性方程式から$\alpha$を求めたら、公式\[
a_n=(a_1-\alpha)p^{n-1}+\alpha
\]に必要な値を代入してしまえばいいというわけです。

この公式の証明は省略しますが、\[
a_{n+1}=pa_n+q
\]の形で従来通りの解き方をすれば自ずと出てきます。


公式の具体的な使い方


今回紹介した、漸化式が簡単に解ける公式の具体的な使い方を紹介したいと思います。

例題
次の漸化式\[
a_{n+1}=2a_n+3
\]\[
a_1=4
\]の一般項$a_n$を求めよ。


このような問題は、今回紹介した公式を用いることで、下のように簡単に解くことが出来ます!


特性方程式\[
\alpha=2\alpha+3
\]より、$\alpha=-3$が求まる。

与えられた式より、$p=2,a_1=4$が分かるので、\begin{align}
a_n &=(a_1-\alpha)p^{n-1}+\alpha \\
&=7×2^{n-1}-3
\end{align}となり、これが求める一般項である。



とは言え、この公式を試験でそのまま使った場合、おそらく点数は貰えません

なぜなら、この問題で大事なポイントは、一見よく分からない漸化式を、等比数列の形に持ち込むという流れが重要だからです。
加えて、正しく新しい数列($b_n$であることが多い)を定義できるかという点も重要だと思います。

しかし、上で紹介した解き方では、こういった難しいポイントを排除してしまっているので、それらが理解できているかの判断が全くできません。

そのため、単純に答えだけを書かせる形式の試験には有効ですが、過程をしっかり書かせる形式の試験では、貰えても部分点です。
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コメント

高校数学において重要なテーマですね。

特性方程式は、学生の時本当にわかりませんでした。今の学生は、情報が多くて羨ましいです。

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【趣味】
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