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直線に関する対称移動行列の導出

前回の記事では、直線に関して対称な点の公式を導出しました。
しかし、このままではとても覚えづらく、使い勝手も悪いです。
そこで、適用できる条件を狭めることで、応用性の高い公式を導きたいと思います!

今回の記事を理解するためには、「行列」の知識が必要になってきますが、
知識がなくても得られるものがあるように書きたいと思います。

前回の「直線に関して対称な点の公式」に関する記事で導いた公式は下の通りです。

直線に関して対称な点の公式

2017030201.png

直線$ l:ax+by+c=0 $に関して、点P$(x_1,y_1)$と対称な点Q$(x_2,y_2)$は
\[
x_2=\frac{1}{a^2+b^2} \Biggl( -(a^2-b^2)x_1 -2aby_1 -2ca \Biggr)
\]\[
y_2=\frac{1}{a^2+b^2} \Biggl( -2abx_1 +(a^2-b^2)y_1 -2bc \Biggr)
\]と表される。


ただ、これはとても覚えづらく、使い勝手も悪い公式です。

そこで、一般性をある程度捨てることで、

直線に関する対称移動行列

2017030301.png

直線$y=x\tan{\theta}$に関して、点P$(x_1,y_1)$と対称な点Q$(x_2,y_2)$は
\[
\begin{bmatrix}
x_2 \\
y_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos{2\theta} & \sin{2\theta} \\
\sin{2\theta} & -\cos{2\theta}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
y_1
\end{bmatrix}
\]と表される。


という、(行列を知っていれば)綺麗な形の公式を導きたいと思います!


直線に関する対称移動行列の導出の為の準備


先ほど一般性を捨てると書きましたが、どういう事かと言いますと、
直線$l$が原点Oを通る場合のみを考えるという意味です。

つまり、考える直線$l$が原点を通らない場合は、先ほど紹介した式は適用できません。

原点を通る場合のみを考えるので、直線$l$の式
\[ l:ax+by+c=0 \]について、$c=0$とします。その後、この式を$y$について解くと
\[ y=-\frac{a}{b}x \]となります。これを、
\[ y=x\tan{\theta}\]の形にするためには、例えば$a=-\tan{\theta}$、$b=1$とすれば良いことが分かります。


直線に関する対称移動行列の導出


そこで、直線に関して対称な点の公式
\[
x_2=\frac{1}{a^2+b^2} \Biggl( -(a^2-b^2)x_1 -2aby_1 -2ca \Biggr)
\]\[
y_2=\frac{1}{a^2+b^2} \Biggl( -2abx_1 +(a^2-b^2)y_1 -2bc \Biggr)
\]に、$a=-\tan{\theta}$、$b=1$、$c=0$を代入します。すると、
\[
x_2=\frac{1}{\tan^2{\theta}+1} \Biggl( -(\tan^2{\theta}-1)x_1 + 2y_1\tan{\theta} \Biggr)
\]\[
y_2=\frac{1}{\tan^2{\theta}+1} \Biggl( 2x_1\tan{\theta} +(\tan^2{\theta}-1)y_1 \Biggr)
\]となります。まだ分かりづらいですね。

しかし、三角比の相互関係や三角関数の加法定理を使うと、
\[
x_2=x_1\cos{2\theta} + y_1\sin{2\theta}
\]\[
y_2=x_1\sin{2\theta} - y_1\cos{2\theta}
\]という、比較的分かりやすい式になります。

最後にこれを行列を使って表すことで、
\[
\begin{bmatrix}
x_2 \\
y_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos{2\theta} & \sin{2\theta} \\
\sin{2\theta} & -\cos{2\theta}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
y_1
\end{bmatrix}
\]という、目的の式を導くことが出来ます。これが、直線に関する対称移動行列です!


注意と補足


行列をある程度知っている方が対象になりますが、最後に補足をしておきたいと思います。

今回、対称移動行列
\[
\begin{bmatrix}
\cos{2\theta} & \sin{2\theta} \\
\sin{2\theta} & -\cos{2\theta}
\end{bmatrix}
\]を導きましたが、これは回転行列
\[
\begin{bmatrix}
\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
\sin{\theta} & \cos{\theta}
\end{bmatrix}
\]とは意味も形も全く異なります

また、今回導いた「直線に関する対称移動行列」は、直線に関して点Pと対称な点Qを求める形で書きましたが、逆に点Qから点Pを求めることも出来ます。これは、対称移動行列を2乗したとき
\[
\begin{bmatrix}
\cos{2\theta} & \sin{2\theta} \\
\sin{2\theta} & -\cos{2\theta}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos{2\theta} & \sin{2\theta} \\
\sin{2\theta} & -\cos{2\theta}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]と、恒等行列(単位行列)になることからも説明が出来ます。
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