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【高校数学Ⅱ】直線に対して対称な点の公式

高校数学Ⅱの「図形と方程式」の単元で登場する、直線に対して対称な点の公式について書いてみたいと思います。
直線に対して対称な点の公式は、通常教科書には載っていません。
この記事では、その公式の導出方法について紹介したいと思います!

今回紹介する、直線に対して対称な点の公式は、普通の教科書には載っていません。
そう言われると、何かスペシャルな公式なのかと期待してしまうかもしれませんが、
考えられる理由は二つあります。

それは、
  • 公式がとても覚えづらい

  • 公式を使う頻度がとても少ない
の二点です。

まず最初に、どんな公式になるのかを紹介します。

直線$ l:ax+by+c=0 $に対して、
点P$(x_1,y_1)$に対して対称な点Q$(x,y)$は、
\[
x=\frac{1}{a^2+b^2} \Biggl( -(a^2-b^2)x_1 -2aby_1 -2ca \Biggr)
\]\[
y=\frac{1}{a^2+b^2} \Biggl( -2abx_1 +(a^2-b^2)y_1 -2bc \Biggr)
\]と表される。


これはとても覚える気にはなりませんね...。

とは言え、この式の導出自体は勉強になると思います。

また、実は「行列」を使うことによって、特殊な例に関しては応用が利くような公式に化けます
行列を使った公式に関しては、次の記事で紹介したいと思います!


前提条件:そもそも対称とは?



2017030201.png

上の図において、点Pに対称な点は点Qですが、点Qの満たす条件は下の二つです。

  1. 線分PQの中点が、直線$l$上に存在する。

  2. 直線PQと直線$l$は、直交する(直角に交わる)。

この条件を使って、点Pに対称な点Q$(x_2,y_2)$を求めてみたいと思います!


一般的な公式の導出


まず条件1について考えます。
線分PQの中点は
\[\Biggl( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \Biggr)\]
であるので、直線$l$の式
\[ ax+by+c=0 \]
に代入すると、
\begin{equation}
\label{con1}
ax_2+by_2 = -ax_1-by_1-2c
\end{equation}
という式が導かれます。

次に条件2について考えます。
二つの直線が直交する条件は、それぞれの直線の傾きの積が-1となることなので、
\[ \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\biggl( -\frac{a}{b} \biggr) =-1 \]
を考えればよいことになります。この式を変形すると、
\begin{equation}
\label{con2}
bx_2-ay_2=bx_1-ay_1
\end{equation}
という式が導かれます。

それぞれの条件から導いた式
\[ax_2+by_2 = -ax_1-by_1-2c\]\[bx_2-ay_2=bx_1-ay_1\]
を連立し、$x_2$、$y_2$について解くと、
\[
x_2=\frac{1}{a^2+b^2} \Biggl( -(a^2-b^2)x_1 -2aby_1 -2ca \Biggr)
\]\[
y_2=\frac{1}{a^2+b^2} \Biggl( -2abx_1 +(a^2-b^2)y_1 -2bc \Biggr)
\]
が導かれます。これが、上で示した直線に対して対称な点の公式です!
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コメント

おはようございます

おおー、懐かしいです。
今ではできるかどうかとても怪しいですが~_~;

書き方がとてもわかりやすかったです!

No title

>INてぐらるさん
ありがとうございますm(__)m
しばらくやらないと、忘れてしまうんですよね...(笑)

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プロフィール

Rh+

Author:Rh+
物理学専攻の大学4年生

【趣味】
アニメ、漫画・イラスト描き、
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