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ピタゴラスの定理(三平方の定理)の証明ついて

今回は、中学数学でも有名な「三平方の定理」がなぜ成り立つか、その証明方法について紹介したいと思います。実は図形の面積の知識を使えば証明出来ちゃいます。

三平方の定理って何だっけ?


三平方の定理と言えば、
\[a^2+b^2=c^2\]
という形で覚えている人も多いと思います。

見た目が簡単で覚えやすいわりに、測量などで大活躍している公式です。
僕は大学で物理を勉強していますが、たまーに使います(笑)

数学者イアン・スチュアート氏の著作「世界を変えた17の方程式」でも、その1番目として紹介されているほど偉大な式です。

しかし、なぜこの公式が成り立つのかを深く考えたことがないという人も多いと思います。僕もそうでしたが、塾講師のアルバイトをしていく中でこの定理の証明方法の存在を再確認したので、証明方法を紹介したいと思います。


なぜ三平方の定理は成り立つのか?


これを説明するためには、証明が必要です。「60度定規でも45度定規でも三平方の定理が成り立つから、他の直角三角形でも成り立つんじゃない?」では当然ダメです。

では、一体どうやって証明していけばいいのでしょうか?

三平方の定理は"図形の面積"の知識を使うことで簡単に証明することが出来ます。

まず、2つの正方形を用意します。

2016112702.png

左の三角形は1辺の長さを$a+b$、右の三角形は1辺の長さを$c$としましょう。
なぜ、左の三角形の1辺の長さをこのようにしたのかは、後で分かります。

ここで、この二つの正方形の面積を求めておきましょう。

左の水色の正方形の面積は$(a+b)^2$、
右の緑色の正方形の面積は$c^2$ですね。

では、この二つの正方形を、下の図のように重ねてみましょう。

2016112703.png

先ほどは、水色の大きな正方形の1辺の長さを$a+b$としましたが、上の図のように$a$と$b$を分割してみました。

なぜこのように分けてもいいのかについてもしっかり説明するべきなのかもしれませんが、詳しくは省きます。
簡単に言えば、図の4つの水色の直角三角形は全て合同だからです。使う合同条件は「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」で、"1組の辺"とは図で言う$c$のことです。気になる人は挑戦してみてください。


今度は図の左下に注目してみましょう。

2016112704.png

直角三角形が出来ましたね。面積は$\frac{1}{2}ab$です。

この直角三角形は、斜辺が$c$、縦と横がそれぞれ$a$と$b$になっており、三平方の定理の説明に使われる直角三角形そのものですね。つまり、この状況で\[a^2+b^2=c^2\]が説明できれば、三平方の定理は証明できたことになります。

では、どうやって説明すればいいのでしょうか。ここでやっと、図形の面積の知識が活躍します。

まず、この図形全体の面積を$S$としましょう。$S$はどう表せますか?

2016112703.png

緑色の正方形が、水色の正方形に完全に重なってしまっているので、全体の面積は水色の正方形の面積そのものです。つまり、全体の面積$S$は
\[S=(a+b)^2\]
であると分かります。

ここで、図形全体の面積はもう一通り表し方があることに気づきませんか?

2016112703.png

そうです。緑色の正方形の面積と、水色の4つの直角三角形の合計でも、全体の面積を表すことが出来そうですね!

先ほど求めたように、緑色の正方形の面積は$c^2$、周りの直角三角形の面積はそれぞれが$\frac{1}{2}ab$です。

図形全体では水色の直角三角形は4つあるので、全体の面積$S$は
\[S=c^2+\frac{1}{2}ab×4\]
と表すことも出来ることが分かります。

ここまでで、図形全体の面積を
\[
S=\begin{cases}
(a+b)^2 \\
c^2+\frac{1}{2}ab×4
\end{cases}
\]
の2通りで表すことが出来ました。この二つはアプローチの仕方が違うだけで、同じ結果にならないとおかしいですよね?というわけで、この二通りの表現で方程式を作ります。
\[(a+b)^2=c^2+\frac{1}{2}ab×4\]
この方程式を整理すると、
\[a^2+b^2=c^2\]
を導くことが出来ます。これで三平方の定理を証明することが出来ました!
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