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中学数学の食塩水問題を一瞬で解く方法!

今回は、中学の数学の連立方程式で登場する、食塩水問題の解き方について紹介したいと思います。

2016112001.jpg
この記事では数式を使っていますが、スマホでは上手く見れない可能性があります。
その時は、PC表示に切り替えて読んでください。



食塩水問題には2種類ある!


食塩水問題とは、二つの食塩水を混ぜた時について考える問題です。大きく分けて、

  1. 混ぜる前の二つの食塩水の質量を求める問題

  2. 混ぜる前の二つの食塩水の濃度を求める問題

の二種類の問題があります。後者の濃度を求める問題の方が、難易度は高めです。


食塩水問題を一瞬で解く方法


実は、混ぜる前の食塩水の質量を求める問題には、一瞬で答えを求める方法があります。

例題として、次のような問題を考えてみます。

12%食塩水xgと6%食塩水ygを混ぜて、8%食塩水600gをつくることを考える。
このとき、混ぜる前の食塩水の質量xとyはそれぞれ何gになるか。


食塩水問題の典型問題の一つです。整理すると下図のような状況です。

2016112001.jpg

解く準備として、上の図に、3つの食塩水それぞれの間の濃度の"差"を書き入れます。

今回の問題であれば、混ぜる前の12%と6%の食塩水の間では、濃度の差は6になります。
同じように、12%と8%の間なら4、8%と6%の間なら2、と値を書き入れていきます。

2016112002.jpg

このとき、xとyはそれぞれ
\[x=600×\frac{2}{6}=200(g)\]
\[y=600×\frac{4}{6}=400(g)\]
と求まります。連立方程式を一切使わずに解くことが出来ました!


「ん??どういうこと??」

という人もいると思うので、計算式について説明します。

\[x=600×\frac{2}{6}=200(g)\]
\[y=600×\frac{4}{6}=400(g)\]

上式の600は混合後の食塩水の質量で、分数の分母に共通して入っている6は混合前の二つの食塩水の濃度の差です。

では、分母にある2と4は一体何の値なのでしょうか。
下のように考えてみると分かりやすいです。

2016112003.jpg

3つの食塩水が、まるでそれぞれを頂点とした逆三角形のような配置で並んでいますよね。

このとき、xgの食塩水の向かい側には2があります。実はこの2が、xの値を求めるときに分子に入れている数です。同様に、ygの食塩水の向かい側にある数字は4なので、yを求める際に分子に4を入れます。

このように、混合前の食塩水の質量を求める問題では、連立方程式を使わずに素早く答えを求めることが出来ます!

まとめると、

食塩水Aと食塩水Bを混合して、食塩水Cをつくるとき、
\[
食塩水Aの質量=混合後の食塩水の質量×\frac{食塩水Bと食塩水Cの濃度の差}{混合前の二つの食塩水の濃度の差}
\]
\[
食塩水Bの質量=混合後の食塩水の質量×\frac{食塩水Aと食塩水Cの濃度の差}{混合前の二つの食塩水の濃度の差}
\]


となります。

今回の問題に適用すれば、
\[
\begin{cases}
x=600×\frac{2}{6}=200(g) \\
y=600×\frac{4}{6}=400(g)
\end{cases}
\]
になりますね。

注意しなければならないことは、後で紹介するような、混合前の食塩水の"濃度"を求める問題が存在するということです。この問題には、上に挙げた方法は通用しません。


食塩水問題の一般的な解き方


食塩水問題は一見複雑そうに見えますが、実はやっていることは毎回同じなんです。それは、

  1. 混ぜる前後で食塩水の合計の質量は等しい

  2. 混ぜる前後で食塩の合計の質量は等しい

という前提のもと、二つの方程式を立てるということです。

先ほど紹介した、「食塩水問題を一瞬で解く方法」も、上の解き方が基になっています。

またさっきと同じような、混ぜ合わせる前の食塩水の質量を求める問題を考えてみます。ただし今度は、食塩水の濃度も文字で置いてみることにします。

2016112004_20161120102615ef4.jpg

混ぜる前の二つの食塩水の濃度をそれぞれa%とb%、混ぜた後の濃度をc%、質量をzgとしました。

まず、「混ぜる前後で食塩水の合計の質量は等しい」ことから、
\[x+y=z\]
が分かります。

次に、「混ぜる前後で食塩の合計の質量は等しい」ことから、
\[\frac{a}{100}×x+\frac{b}{100}×y=\frac{c}{100}×z\]
が分かります。これだと分かりづらいので、両辺に100を掛けてしまいます。
\[ax+by=cz\]
大分すっきりしましたね。

よって、解くべき連立方程式は
\[
\begin{cases}
x+y=z \\
ax+by=cz
\end{cases}
\]
のようになります。これをx、yについて解くと、
\[
\begin{cases}
x=z×\frac{b-c}{b-a} \\
y=z×\frac{c-a}{b-a}
\end{cases}
\]
となります。

実はこの式は、さっき書いた、「食塩水問題を一瞬で解く方法」と同じ式です。
つまり、この式を覚えてしまえば、連立方程式を解く手間が省けるということになります!


食塩水の濃度を求める問題


食塩水問題の応用問題として、混ぜる前の食塩水の"濃度"を求める問題があります。
濃度を求める問題では、先ほどの"質量"を求める問題と決定的に違う点があります。

それは、食塩水を2回混ぜているということです。

次のような問題を考えてみます。

濃度がa%の食塩水Aと、濃度がb%の食塩水Bがある。


  • 100gの食塩水Aと300gの食塩水Bを混ぜ合わせると、6%の食塩水になる。

  • 300gの食塩水Aと500gの食塩水Bを混ぜ合わせると、8%の食塩水になる。

このとき、混ぜる前の食塩水の濃度a、bはそれぞれ何%か。


整理すると、下の図のようになります。

2016112005_20161120113751cd1.jpg2016112006_20161120113753ab5.jpg


食塩水問題では

  1. 混ぜる前後で食塩水の合計の質量は等しい

  2. 混ぜる前後で食塩の合計の質量は等しい

という前提のもとで二つの方程式を立てると書きましたが、今回の問題では前者の「混ぜる前後で食塩の合計の質量は等しい」ということに関して二つ方程式を立てる必要があります。だから、食塩水を二回混ぜ合わせているんです。

この問題で立てるべき二つの方程式は、二つのケースに関する食塩水の質量について考え、
\[
\begin{cases}
100a+300b=6×400 \\
300a+500b=8×800
\end{cases}
\]
となります。これを解くと、
\[
\begin{cases}
a=18(\%) \\
b=2(\%)
\end{cases}
\]
となります。

以上で、食塩水問題の考え方の紹介を終わります。
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コメント

なるほど!

訪問していただいたので気になって見て居たら結構役立つなぁ!
と思ったのでコメントさせていただきました
実に中学生でも理解出来ました(`・ω・´)
あ、でもこの範囲前回のテストで…と思ったりとか…w

Re: なるほど!

コメント&訪問ありがとうございます!

確かに連立方程式だと試験範囲としては少し前の時期ですね(^^;

お役に立てて嬉しいです!

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プロフィール

Rh+

Author:Rh+
物理学専攻の大学4年生

【趣味】
アニメ、漫画・イラスト描き、
ラーメン、株式投資、etc
【資格】
英検準1級、応用情報技術者

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