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【高校数学Ⅲ】商の微分法の証明

こんばんは、理系大学生のRh+です。
もう大学4年生になりますが、情けないことに今更"商の微分法"の証明方法を知りました...。
今回は、丸暗記しがちな商の微分法の証明方法を紹介します。

商の微分法の証明


商の微分法とは、高校数学の数学Ⅲで習う基本公式の一つです。文系選択の場合はお馴染みではないかもしれません。商の微分法ってしばらく使わないと、分母と分子のどちらを先に微分するのかを迷ってしまうんですよね。

ちなみに、こちらが商の微分法の公式です。

関数$f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}$の微分は、
\[f'(x)=\frac{h'(x)g(x)-h(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\]で表される。


僕は高校生の頃から、この公式は丸暗記して問題を解いていました。1999年に、東大で"三角関数の加法定理"という基本的な公式を証明するという問題が出て話題になりましたが、商の微分法の証明はこれより遥かに簡単です。

商の微分法の証明と聞かれてドキッとした人は、この記事の続きを読んでみてください(笑)

証明
\[f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}\]
の両辺に$g(x)$をかけると、
\[f(x)g(x)=h(x)\]
両辺を$x$で微分すると、
\[f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=h'(x)\]
したがって、
\begin{eqnarray}
f'(x)g(x)&=&h'(x)-f(x)g'(x) \\
&=&h'(x)-\frac{h(x)}{g(x)}g'(x) \ \ \ \ \ (∵f(x)=\frac{h(x)}{g(x)})\\
&=&\frac{h'(x)g(x)-h(x)g'(x)}{g(x)}
\end{eqnarray}
ゆえに、
\[f'(x)=\frac{h'(x)g(x)-h(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\ \ \ \ \ ■\]


今まで商の微分法を証明できなくて困ったことはありませんが、証明を通して、なぜ分母を2乗するのか、とか、なぜ分子を先に微分するのか、といったことが分かります。

きっと他にも、意外と証明できない公式がたくさんあるんだろうな...。
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コメント

久しぶりに数式見ました(笑)

Rh+さん初めまして♪
ブログへの訪問ありがとうございます♪
訪問者リストから来ました。

商の微分法の証明、これで数式久しぶりに見ました(笑)
私は化学の出身で、しかも有機化学の出なので数式は大学入試以来です(笑)

しかし久しぶりでも数式見て流れが分かったときはワクワクするものですね。
もっと勉強しておけばよかったとふと思いました。
今なら数Ⅲもできる気がします(笑)

また訪問させていただきます。
ランキング押していきますね(^^♪

No title

コメントありがとうございます!

僕も数式いじるの久しぶりでした←
久しぶりに見ると意外と分かったりするんですよね(笑)

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プロフィール

Rh+

Author:Rh+
物理学専攻の大学4年生

【趣味】
アニメ、漫画・イラスト描き、
ラーメン、株式投資、etc
【資格】
英検準1級、応用情報技術者

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